--- note_type: source state: seed created: 2026-10-08 aliases: - 沪教版教参必修第二册·第9章 tags: - 数学/教参 - 数学/沪教版 topics: - 上海高考数学 - 教参 source: 沪教版教参必修第二册.md（原文件第 2161–2703 行） --- # 第 9 章复数 > 拆分自 [[沪教版教参必修第二册]] · **第 9 章复数**（原文件第 2161–2703 行）。 > 正文、公式与图片引用逐字保留；标题按语义重算层级，OCR 噪声前缀（页码/页边框）已清理。 ## 一、本章概述 ### 总体要求复数是在实数的基础上, 人们对于数的认识的进一步发展. 复数是数系扩充过程中的一个重要环节, 对于复数概念和运算规则的规定, 使得复数成为一类重要的运算对象, 同时, 复数又兼具非常明确的几何意义. 复数从代数和几何等多个方面呈现其与客观世界的深刻联系. 复数是现代数学工作者和各个领域的科技工作者广泛运用的基本数学工具. 数学的发展史表明, 复数与无理数一样, 都是人类理性思维的产物, 体现了数学知识体系的内在矛盾对于数学发展的推动作用. 从实数系到复数系, 首先是满足了数学自身发展的需要, 人们逐步发现复数与几何的关联乃至复数与客观世界更为广泛的联系, 反过来又进一步推动了复数理论的发展与完善. 对复数知识起源的简要介绍, 有益于学生理性思维的形成和发展. 在复数知识的学习中, 学生会了解一些新的概念和规则, 从中体会类比、推广等数学思想方法. 复数学习内容的呈现, 凸现了复数与中学数学各个知识模块的紧密联系,在探寻复数与图形的联系中强化“数”与“形”相互结合的意识,体验从复数这一新的视角把握代数与几何的关联. 在介绍复数的概念、运算以及几何意义等基础知识的过程中, 应重视发挥其对学生数学抽象、数学运算、逻辑推理以及直观想象等数学核心素养发展的促进作用. ### 课时安排建议本章的课时安排建议为 $5 + 2 + 1$ ,共计 8 课时. 建议如下:

章节名	建议课时	具体课时分配建议
9.1 复数及其四则运算	2	复数的引入与复数的四则运算 1 课时
9.1 复数及其四则运算	2	复数的实部、虚部与共轭 1 课时

(续表)

章节名	建议课时	具体课时分配建议
9.2 复数的几何意义	2	复平面与复数的坐标表示、复数的向量表示、复数加法的平行四边形法则 1 课时
9.2 复数的几何意义	2	复数的模 1 课时
9.3 实系数一元二次方程	1
9.4 (选学)复数的三角形式	2	复数的三角形式 1 课时
9.4 (选学)复数的三角形式	2	三角形式下复数的乘除运算、三角形式下复数的乘方与开方 1 课时
复习与小结	1

### 内容编排与特色本章内容共分为四节, 分别是 9.1 复数及其四则运算, 9.2 复数的几何意义, 9.3 实系数一元二次方程, 9.4 复数的三角形式. 本教材复数内容与众不同的处理方法是 “运算先行”,在全章开头引入复数之后, 单刀直入地介绍复数的四则运算, 而相关的概念和理论框架随后逐步完善. 具体地说,“9.1 复数及其四则运算”开门见山地从负数的开平方引入虚数单位, 从虚数单位与实数的运算引入一般的复数. 从本章课后阅读简要介绍的复数起源故事可以看到, 在三次方程求根公式的研究中, 数学家不得不面对负数的开平方问题. 为了解决这个在当时属于 “不现实” 的问题, 数学家凭空想象出一种新的数, 叫做 "imaginary number"(想象的数,翻译后被叫做虚数),其中虚数单位 $\mathrm{i}$ 满足 ${\mathrm{i}}^{2} = - 1$ . 在定义了虚数单位后, 用 “运算” 的途径构建复数集 $\mathbf{C}$ : 首先把虚数单位与实数 “相乘”,得到形如 $b\mathrm{i}\left( {b \in \mathbf{R}}\right)$ 的纯虚数,然后把这样的虚数与实数“相加”,得到一般的复数 $a + b\mathrm{i}\left( {a\text{、}b \in \mathbf{R}}\right)$ . 这种引进一般复数的方式突出了数系的运算特征. 复数相等的关系是建立复数运算的逻辑基础. 教材把复数相等作为 “约定” 在这里出现了. 有了复数相等关系后, 就能类比多项式的运算法则直接给出复数运算的定义, 使学生能不太困难地理解和进行复数的运算. 在教学时, 注意让学生进行这种类比, 而不是强求学生死记运算公式. 由于“运算先行”,复数的实部、虚部和共轭等概念在复数的四则运算之后才出现, 然后衔接到 9.2 节的内容. 因此, 本教材复数理论的建立可以描述为以运算为抓手, 先搭建一个基本满足需要的框架, 再加以逐步细化并形成严谨的逻辑体系的过程. 这样的复数知识呈现方式, 在某种程度上还原了历史上数学家对于复数研究非常朴素而自然的探究过程, 它为学生用一种朴实无华的思想方法进行科学创新的思考提供了一次体验的机会. 同时, 将复数的四则运算与实数范围内多项式的运算建立起一个清晰的联系, 从而将需要学习的新知识链接于学生头脑中掌握得较好的既有知识. 这样的知识呈现顺序, 有利于学生更加快捷、高效地获取新的数学知识和数学思想方法. “9.2 复数的几何意义”的主要目的是通过复平面建立复数与点及向量之间的对应关系. 复数的代数形式反映了数系扩充的一般表示方法, 也为复平面的构建提供了方便. 复数代数形式中的实部与虚部, 自然地成为复数所对应的向量在一组正交基 $\left( {1,0}\right)$ 与 $\left( {0,1}\right)$ 下的坐标. 在建立了复数与向量之间的对应关系后,不仅可以用向量的加减运算来表示复数的加减运算, 而且可以将向量加减运算的平行四边形法则推广到复数的加减运算上, 在赋予复数加减运算几何意义的同时, 也自然地将向量的模的概念推广到复数上. 教材中的这种处理方法如顺水推舟,将第 8 章与第 9 章自然地联结在一起. 本套教材在复数引入之初就给出了复数四则运算的定义, 与在定义了复平面和复数的坐标表示后再引入复数运算相比较, 更突出复数作为一个数系的运算特征, 而把复平面及复数运算的几何意义作为一种拓展性质. 从逻辑上看, 这样的处理更合理. “9.3 实系数一元二次方程”是对复数引入情境(求复数的平方根)的一种呼应,彻底解决了实系数一元二次方程问题, 得出任意一个实系数一元二次方程都有两个根, 并对虚根的共轭性以及根与系数的关系 (即韦达定理) 进行了充分的讨论. 教师要心中有数的是, 这一内容是著名的“代数学基本定理”(复系数一元多项式方程在复数域内一定有一个根) 以及它的推论 (如果重根按重数计,复系数一元 $n$ 次多项式方程在复数域内正好有 $n$ 个根) 的最简单的情形: 二次多项式方程,而且只考虑实系数的情形 (复系数的情况在节后的“探究与实践”中). “9.4 复数的三角形式”属于选学内容, 是二期课改教材中没有的内容. 复数的代数形式虽然能够较为方便地处理复数的加、减、乘、除等四则运算, 但是, 要对以代数形式表示的复数进行高次乘方和开方运算, 是一项较为困难的工作. 在 9.2 节中建立复数与复平面上的点的一一对应之后, 很自然地联想到用在直角坐标系中确定点的位置的几何量来表示对应的复数. 除了点的直角坐标 (它给出复数的代数形式) 外, 还有一组几何量可以准确地给出点的位置, 它们是复数的模和辐角 (这组几何量将来可以联系到点的极坐标). 用复数的模和辐角的正弦与余弦, 构建一种不同于代数形式的复数表达方式, 由此, 复数便有了另一种非常重要且有用的表示形式, 即复数的三角形式. 若复数以三角形式表示, 则复数的乘除运算以及乘方和开方运算都有非常简洁的表达式, 并可以显示出这些运算的几何意义: 复数的三角形式是一种刻画旋转变换非常便捷、有效的工具. 以三角形式表示的复数乘法、除法公式, 清晰而自然地体现了复数乘法的几何意义. 例如, 一个复数乘(除以)一个模为 1 的复数, 在复平面上就是一个点绕着坐标原点旋转某一角度. 在三角形式的基础上, 还可以进一步用指数形式来表示复数, 但本教材不涉及. 复数的三角形式和指数形式在数学中都具有广泛的应用. 对复数代数形式和三角形式相关知识的介绍, 构成了相对完整的复数系的基础知识, 展示了复数这一代数概念与几何的内在联系, 为学生又一次提供了用代数手段解决几何问题的实践体验. ### 教学提示回顾初中阶段求解一元二次方程的相关知识, 由此提出负数的开平方问题并引出虚数单位的概念, 这是在课堂教学中介绍复数知识通行的做法. 但是, 希望在一元二次方程判别式小于零时有解, 并非是数学家引入虚数概念的直接动因. 这里, 可以结合本章的课后阅读,从三次方程求根公式的研究过程中要解释 $x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{-{121}}} - \; \sqrt[3]{2 + \sqrt{-{121}}}$ 的意义入手,引导学生思考其中需要解决的两个问题: 第一,负数开平方的含义是什么? 第二,即使负数可以开平方,那么开方的结果与实数之间的“十”是怎样联系的? 也就是它怎样参与实数的运算. 由此便可自然地将教学内容指向本章第 1 节复数的概念、复数相等以及复数四则运算规则等知识. 在整个复数教学过程中, 教师要把握“运算先行”的模式,即先定义并让学生操作复数的四则运算,再细化复数的相关概念的知识呈现方式, 引导学生关注创立复数理论的过程中那些非常朴素的思想方法, 体验、感悟怎样用最便捷、有效的方式, 将科学创新的成果与既有的知识体系有机融合. 复数的运算法则和复数的几何意义是复数基础知识中的两个核心内容. 复数概念从诞生到确立其在数学中的地位经历了近 300 年的时间, 这其中复数的几何意义功不可没. 复数几何意义涉及中学数学多方面的知识, 复数、直角坐标平面上的点以及向量相互紧密联系, 它们有许多共同点, 但是各自的性质又有不少差异. 向量和复数都可以进行加减运算, 而且都遵守平行四边形法则, 这是它们的共性. 复数可以进行乘除运算, 而且运算的结果仍然是复数; 而向量的数量积在某种意义下也是乘法, 但是其运算结果不是向量. 可见这两个“乘法”是完全不同的概念,不能混淆. 复数的模是实数绝对值概念的延伸, 复数与向量的模描述了点之间的距离, 而且都满足三角不等式. 在复数几何意义的教学中,要引导学生以较为宽阔的视野思考相关知识的联系与区别,体会“类比”这一十分重要的思想方法,学会主动地运用复数工具描述几何现象. 利用复数的代数形式 $z = a + b\mathrm{i}\left( {a\text{、}b \in \mathbf{R}}\right)$ ,将复数问题化归到实数领域的问题, 这是中学数学在解决有关复数的问题时常用的思想方法. 但是, 如果所有的复数问题都可以这样回到实数来处理, 那么复数除了形式的存在就没有更多意义了. 对此, 教材安排了少量的例题和习题,向学生展示不以 $a + b\mathrm{i}(a\text{、}b \in \mathbf{R}$ ) 的形式表示复数而直接以复数 $z$ 对其性质展开研究. 通过一些简单的例题和习题,如求解虚系数一元一次方程等问题, 对解决复数问题不同于“复数问题实数化”的思想方法作出适度的介绍. 现行市场上不少型号的学生用计算器都具有复数运算的功能, 教师要提倡学生通过阅读说明书以及合作交流等方式, 以学生自主探究为主掌握计算器的复数运算功能, 促进学生运用现代数学工具能力的发展. 在复数教学内容基本完成以后, 教师可以再次引导学生关注复数与实数的异同点, 并启发学生思考: 为什么教材上只阐述了复数的相等关系而没有复数的大小关系? 进而引导学生通过课外书籍的阅读或网上浏览, 了解数系扩充的基本原则、序关系等相关知识, 进一步拓展数学的学习视野. ### 评价建议复数的相关概念、复数的运算以及复数的几何性质, 是复数知识的核心内容, 也是教学评价的重点. 要以复数知识为载体, 通过教学评价, 促进学生数学抽象、数学运算、逻辑推理以及直观想象等核心素养的提升. 可以通过一些简单的探究性问题 (比如,“若实数 ${x}_{1}{x}_{2} = 0$ ,则 ${x}_{1}$ 和 ${x}_{2}$ 中至少有一个为零”能否推广到复数) 的讨论, 促进学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力的发展. 虽然复数运算可以通过计算器进行, 但笔算是学生理解复数的算理以及性质的一个必不可少的过程, 笔算的正确率是学生运算能力的一种外在表现. 在过程性评价中, 对于一些简单的复数运算问题, 可以对学生使用计算器作一些适度的限制. 复数的几何意义是一项综合性较强的学习内容, 其中不仅包含了对于“形”的直观感悟, 还有不少关于几何及代数的逻辑推理. 在有关复数几何意义的教学评价选材中, 应注意体现适度的逻辑推理和直观想象方面的要求, 通过简单的数学过程表述, 促进学生逻辑推理和数学表达能力的发展. #### 二、教材分析与教学建议 ##### 9.1 复数及其四则运算 ### 教学重点回顾初中阶段一元二次方程的求根公式, 提出负数开平方问题并引出复数的概念, 理解复数相等的含义以及复数的四则运算规则并依据算理正确地进行计算, 根据复数的代数形式对复数加以分类. ### 内容分析复数系是为了解决负数的开平方问题而对实数系所作的扩充, 四则运算是复数系最为重要的组成部分, 只有明确了复数相等关系的含义并定义了复数的运算, 复数才有了“数”的基本特征. 定义复数集及复数集上的运算有不同的方法. 例如, 严谨的方法之一是把复数系定义为实数域上具有基 $\{ 1 = \left( {1,0}\right) ,\mathrm{i} = \left( {0,1}\right) \}$ 的二维向量空间 (自然地具有加减法运算) 上恰当地定义乘法与除法,使其成为一个域,且等式 ${\mathrm{i}}^{2} = - 1$ 自然地成立. 这种方法先几何地构建复数系, 代数的性质和运算规则都在几何框架下实现. 另一种严谨方法是代数的,关键在于构建实数域的二维代数扩域,即先构建实数域 $\mathbf{R}$ 上的一元多项式代数 $\mathbf{R}\left\lbrack T\right\rbrack$ ,再做 $\mathbf{R}\left\lbrack T\right\rbrack$ 关于它的极大理想 $\left( {{T}^{2} + 1}\right)$ 的商域, $T$ 在商域中的像 (记为 i)即为虚数单位. 这两种方法虽然严谨,但是它们脱离了学生的知识储备和认知水平,也与复数理论发展的历史进程相去甚远. 因此, 在中学教材中复数的引入通常由引入 -1 的一个平方根 $\mathrm{i}$ 开始,构建 $a + b\mathrm{i}$ 形式的记号所成的集合 $\mathbf{C}$ ,通过确定相等关系并定义运算赋予这些记号以“数”的意义,从而使 $\mathbf{C}$ 成为一个数系 (即复数系). 本教材也是这样建立复数理论的. 但与许多教材不同的是,我们摒弃了在复数运算出现之前先讲相关概念,甚至先建立复数的几何表示的做法,而把引入部分的理论建构压缩到极小,实施“运算先行”的策略. 具体做法体现在以下两个方面: 一是, 人为规定了 -1 的一个平方根 (虚数单位) 为 i 以后, 通过形式地定义运算作出“新数”: 先作实数 $b$ 与虚数单位 $\mathrm{i}$ 的乘积 $b\mathrm{i}\left( {b \in \mathbf{R}}\right)$ ,再把 $b\mathrm{i}$ 与既有的实数 $a$ 相加而得到 $a + b\mathrm{i}$ ,从而得到完整的复数集 $\mathbf{C}$ . 这个过程通过形式的运算制造出新数,严格说来是比较抽象的, 但由于比较自然, 因此学生接受起来不会有什么困难. 实施“运算先行”策略之前,我们用约定的形式给“一个复数等于 0 ”和“两个复数相等”以明确的含义. 这两个约定对学生而言是自然的,也不会有学习的障碍(从数学本质上说, 这个约定只是说明在复空间中 1 和 i 是实数域上线性无关的向量). 有了这个约定,我们就沿着 “运算先行” 之路继续前行: 以多项式四则运算规则与 ${\mathrm{i}}^{2} = - 1$ 相结合来定义复数四则运算(实际上是前文所说的用扩域方法定义复数域时得出的复数运算), 这是一种为构建新知识体系而对既有知识所进行的顺理成章的“移植”. 沿着这样的复数知识发生与发展的路径, 学生就可以将复数运算与初中阶段所学习的多项式运算相对接, 为掌握复数四则运算提供一个非常熟悉的背景支撑. 在定义了复数、约定了复数的相等关系并建立了四则运算规则以后, 学生头脑里作为“数”的复数概念就基本形成了. 接下来教材把与复数相关的概念进一步细化, 先将 $a + b\mathrm{i}\left( {a\text{、}b \in \mathbf{R}}\right)$ 中的 $a\text{、}b$ 分别称为复数 $a + b\mathrm{i}$ 的实部与虚部, $a + b\mathrm{i}\left( {a\text{、}b \in \mathbf{R}}\right)$ 称为复数的代数形式(这里不妨先预告后续内容“复数的三角形式”). 既然复数是继实数以后所学习的有关“数”的知识,那么很自然地应该仿照对于实数的研究将复数进行分类, 由此引出虚数和纯虚数等概念, 并指出虚数才是在实数之外所新增的数, 复数以实数和虚数分作两类, 复数和虚数并非是同一个概念. 共轭复数是复数理论中的一个重要概念, 它在本节可看到的作用是将复数的除法运算归结为 “分子和分母同时乘分母的共轭复数” 这样较为简洁的表述语言. 而教材中求共轭复数与复数四则运算的关系公式, 其验证过程既是学生进一步巩固复数四则运算法则的教学素材, 也是实践体验数学符号语言与自然语言 (例如, 复数和的共轭等于共轭的和) 相互转换的学习机会. 需注意教材给出“商的共轭等于共轭的商”的证明过程, 并没有程序化地使用复数的实部、虚部进行验证, 而是在乘法结论基础上用逆运算的思想的简洁证明. 例 1 中四个有关复数加法、减法以及乘法运算的问题, 在强调了复数的四则运算可以根据多项式运算法则与 ${\mathrm{i}}^{2} = - 1$ 相结合而展开的思想方法后,可以学生自主练习、教师适度指导的方式完成. 例 2 示范了复数除法运算法则的运用. 在教学中,可以类比对 $\frac{1}{a + \sqrt{b}}$ 进行分母有理化的方法,说明除数为 $c + d\mathrm{i}\left( {c\text{、}d \in \mathbf{R}}\right)$ 的复数除法运算中将分子和分母同乘 $c - d\mathrm{i}$ ,便可以将除法运算化归为乘法运算. 可以引导学生回忆一下,这种方法是利用公式 $\left( {a + b}\right) \left( {a - b}\right) = \; {a}^{2} - {b}^{2}$ 将分母中的二次根式去掉. 例 3 展示虚数单位 $\mathrm{i}$ 的整数次幂的周期性. 教学中可引导学生从 $\mathrm{i}$ 开始自主探究发现规律,并通过讨论交流,提炼、概括 “对任意整数 $m$ ,都有 ${\mathrm{i}}^{m} + {\mathrm{i}}^{m + 1} + {\mathrm{i}}^{m + 2} + {\mathrm{i}}^{m + 3} =$ 0”的结论, 其中应注意引导学生体会, 以符号语言呈现的上述结论与自然语言表达“i 的四个连续整数次幂之和为零”的相互转换. 例 4 说明在实数范围内成立的完全平方和(差)等公式在复数范围内仍然成立. 例 5 和例 6 体现将复数概念细化的各个要素以及将复数的分类准确运用于具体的复数. 例 7 指出在复数集 $\mathbf{C}$ 中, $z \in \mathbf{R}$ 的充要条件是 $z = \bar{z}$ ,这是复数的一条重要性质, 它是以不同于“复数问题实数化”的思想方法处理复数问题的工具之一. 同时, 这一问题的论证过程是对于充要条件证明方法的复习. 例 8 的求解有两条不同的路径, 学生容易想到的方法是根据已知条件先计算得出 $\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$ 的结果再写出 $z$ 的值,而教材所呈现的方法,则在体现共轭复数运算性质运用的同时, 通过两边取共轭来体现等式 “两边同时……” 这一非常重要的数学思想方法. ### 注意事项教材虽然介绍了虚数单位的整数次幂运算及其性质, 但是对以复数代数形式表示的复数, 幂运算以局限于平方运算为宜, 复数的高次乘方运算, 待以后学习了复数的三角形式和指数形式后可以更方便地处理. 二期课改教材在复数四则运算之后专设一节讲述复数的平方根与复数的立方根, 因为本教材通过“ 9.4 复数的三角形式”一节,使得一般的求复数方根的题目不再困难, 就没有必要设置这样的专节了. 而且, 在 “9.3 实系数一元二次方程” 中, 讨论实数的平方根时没有采用复数的三角形式, 仅用复数的代数形式和 “待定系数法” 就解决问题了. 这个方法完全可以用于复数平方根的讨论, 在后面的“探究与实践”中提到这一事实时, 让学生自由探索. ### 教学建议复数的四则运算可用多项式运算与虚数单位 $\mathrm{i}$ 的性质 ${\mathrm{i}}^{2} = - 1$ 相结合加以开展. 在讲解复数运算规则时,可以从类比根式运算入手,通过对实数 $a + b\sqrt{2}$ 与 $c + d\sqrt{2}(a$ 、 $b\text{、}c\text{、}d \in \mathbf{R}$ ) 四则运算的复习,引导学生自主探究复数的四则运算规则. 特别地,讲复数除法时, 注意类比分母含有无理数的分数的分母有理化, 在讲了共轭复数以后可以再次回顾, 指明作除法时把分子和分母同乘分母的共轭复数这一关键点. #### 9.2 复数的几何意义 ### 教学重点建立复数与复平面上的点和向量间的对应关系, 类比向量掌握复数加减法的平行四边形法则, 理解共轭复数的概念并了解其对于刻画点的对称关系的作用. 理解复数模的概念、性质及关于复数模的三角不等式. ### 内容分析由于任意的复数都可以唯一地表示成代数形式 $a + b\mathrm{i}\left( {a\text{、}b \in \mathbf{R}}\right)$ ,由复数的实部 $a$ 和虚部 $b$ 确定的有序实数对 $\left( {a, b}\right)$ 可以视作直角坐标平面上一个点的坐标,这样便建立了复数集与坐标平面上的点以及平面向量间的一一对应关系. 由此, 复数就不再是一个单纯为了解决负数的开平方问题而人为构造的数学对象, 复数可以找到简洁明了的几何意义. 因为有 ${\left| z\right| }^{2} = z\bar{z}$ 等复数的性质,所以人们对于二维平面上几何关系的描述,可以用一个代数数学对象即复数 $z$ 来表示. 由此,几何图形性质的研究又有了新的工具, 复数也在它所表现的几何意义中不断地发展. 复数的几何意义的学习对于促进学生数学综合思维能力的发展具有独特的作用. 通过平行四边形法则可以看到, 复数在复平面上表示为向量后, 其加减运算与向量的加减运算是一致的. 在复平面上, 点与点之间的距离、对称以及平移、旋转、伸缩变换等诸多几何概念、几何操作都可以通过复数的代数运算给予较为方便的刻画. 例如,在“9.4 复数的三角形式”中还可以看到, 复数的乘除运算是刻画向量旋转与伸缩的有力工具. 在 “9.1 复数及其四则运算” 中介绍共轭复数的定义, 这在当时是一个略显突兀的概念. 虽然利用共轭复数可使得对于复数除法运算法则的描述有所简化, 但似乎无需为此而专门规定一个概念,没有共轭复数这个说法,复数的除法运算规则也已经交待清楚了. 现在这里至少还可以看到共轭复数的另一个价值, 即提供了一个描述复平面上两点间对称关系的工具: 在复平面上,若点 $Z$ 所对应的复数为 $z$ ,则 $\bar{z}$ 所对应的点与点 $Z$ 关于 $x$ 轴对称, $- \bar{z}$ 在复平面上所对应的点与点 $Z$ 关于 $y$ 轴对称. 在此基础上还可以刻画复平面上点的更多的对称关系. 而复数 $z$ 与 $\bar{z}$ 的乘积所具有的性质 $z\bar{z} = {\left| z\right| }^{2}$ , 使得原本需要“多元”方能表达的点的距离得以用“一元”的形式呈现. 在“9.3 实系数一元二次方程”讨论中, 共轭复数又出现了: 没有实根的实系数一元二次方程一定有一对共轭虚根(这个结论易推广为“实系数一元多项式方程的虚根共轭地成对出现”). 复数的模是与复数相关的几何量中最为重要的量之一, 它与复平面中复数所对应的向量的模是一致的, 同时在代数上它是实数的绝对值概念的推广. 复数的模使得平面上最普遍的长度度量和相关问题可以用复数的形式简洁地表达和处理. 例如, 平面上两点 $A\left( {a, b}\right)$ 与 $B\left( {c, d}\right)$ 间的距离原来需要由四个字母的根式 $\sqrt{{\left( a - c\right) }^{2} + {\left( b - d\right) }^{2}}$ 表示. 若记 ${z}_{A} = a + b\mathrm{i},{z}_{B} = c + d\mathrm{i}$ ,则两点 $A$ 与 $B$ 的距离公式简化为只需两个变量并且不含根式的 $\left| {{z}_{A} - {z}_{B}}\right|$ 来表示,并由 ${\left| {z}_{A} - {z}_{B}\right| }^{2} = \left( {{z}_{A} - {z}_{B}}\right) \overline{\left( {z}_{A} - {z}_{B}\right) }$ ,有关长度问题的推演就可以在复数的语境中加以处理, 从而在某种程度上简化了运算. 本节我们还证明了关于复数模的重要不等式 $\left| {z}_{1}\right| + \left| {z}_{2}\right| \geq \left| {{z}_{1} + {z}_{2}}\right|$ ,它是本套教材必修 1 “ 2.3 基本不等式及其应用”中关于实数绝对值的三角不等式的推广. 在 2.3 节中, 三角不等式的证明是借助于两数和平方公式完成的, 当时只在实数范围内讨论问题, 也很难看出此不等式与 “三角形两边之和大于第三边” 相似. 本节中推广到复数的三角不等式 $\left| {z}_{1}\right| + \left| {z}_{2}\right| \geq \left| {{z}_{1} + {z}_{2}}\right|$ 的证明就实实在在地运用了 “三角形两边之和大于第三边”的性质. 这一内容的教学要联系“2.3 基本不等式及其应用”的相关内容, 一方面起着前后呼应的作用,另一方面也是为学生释疑解惑,使他们真正了解“三角不等式”命名的根据和意义. 公式 $\left| {z}_{1}\right| + \left| {z}_{2}\right| \geq \left| {{z}_{1} + {z}_{2}}\right|$ 讲的是一个顶点在坐标原点的三角形“两边之和大于第三边”. 更一般的“三角形两边之和大于第三边”可以用表示三角形三个顶点的复数 ${z}_{1}\text{、}{z}_{2}\text{、}{z}_{3}$ 表达为 $\left| {{z}_{1} - {z}_{2}}\right| + \left| {{z}_{2} - {z}_{3}}\right| \geq \left| {\left( {{z}_{1} - {z}_{2}}\right) + \left( {{z}_{2} - {z}_{3}}\right) }\right| = \left| {{z}_{1} - {z}_{3}}\right|$ . 例 1 解题过程的表述可以不涉及几何图形, 但是在教学中, 应通过共轭复数在复平面上所对应的点的图示, 初步建立属于代数领域的“复数”与属于几何领域的“点”之间的关联,感受一对共轭复数在复平面上所对应的点关于 $x$ 轴对称这一特殊的图式. 例 2 的教学可以在学生动手操作(描点, 作向量)的过程中感悟复数、点、向量间的联系. 例 3 借助向量减法运算的坐标表示, 说明了如何用复数的差表示始点不在复平面原点的向量, 它实际上是一个用复数研究几何问题的重要工具. 例 4 用向量的数量积说明复数 $z$ 与 $z\mathrm{i}$ 所对应的向量的垂直关系,由此说明将向量绕始点逆时针旋转 ${90}^{ \circ }$ 的代数表达,是将该向量所对应的复数与虚数单位 $\mathrm{i}$ 相乘. 它以呈现特例的方式对复数乘法的几何意义作了提示性的介绍. 例 5 是复数加法平行四边形法则的应用. 可由学生动手作图将问题从文字表述转化为相应的图形,如此得到的图形应该是没有线段 ${OB}$ 的. 教学的着力点就在于引导学生体会, 平行四边形对角线表示的向量所对应的复数可由复数的加法运算得到. 在下一节复数模的教学中,可以将此问题作变式处理 “求 $\left| {OB}\right|$ 的长度”. 类似的问题其教学意图就是, 帮助学生在与平行四边形相关的几何场景中, 逐步自觉地将平行四边形与复数的加法运算相联系, 从而以复数为工具处理相关的几何问题. 例 6 是复数模的概念针对特定复数的应用, 可在此处引入上述例 5 的变式问题. 例 7 从 $a + b\mathrm{i}\left( {a\text{、}b \in \mathbf{R}}\right)$ 入手,是学生在初步建立了复数概念并进行了一些有关复数问题的基本练习后较为自然的选择. 教学中不妨让学生首先完成这一过程, 然后引导学生关注复数模的一个重要性质 ${\left| z\right| }^{2} = z\bar{z}$ ,并由此提出一个处理复数问题的重要观点: 在中学阶段学习复数时,借助 $z = a + b\mathrm{i}\left( {a\text{、}b \in \mathbf{R}}\right)$ 将 “复数问题实数化” 是非常常用的思想方法,但例 7 所展示的直接以复数 $z$ 呈现的问题解决过程. 例 8 展示了共轭复数模的性质在复数模的计算中的作用, 其中的 (2) 显示了一对共轭复数具有相等的模, 体现了观察能力对于发现代数结构所具有的特定关系从而简化问题解决过程的独特作用. 例 9 以复数的形式呈现了复平面上的两个点, 以复数差的模的几何意义作中介, 复数的代数形式表示的点便可与既有的两点间距离公式建立直接的联系. ### 注意事项复数的模以及复数加法的平行四边形法则可以表示向量的长度等复数及其运算所具备的几何特征, 使得复数以及复数的运算都可以有 “形”的体现, 复数可以与图形有一种天然的联系. 因此, 复数知识可以与平面几何、三角、向量乃至选择性必修课程中的解析几何等学习内容相联系, 由此产生不少数学知识和能力综合要求较高的问题. 在教学和评价中, 应以复数几何意义的简单直接运用为主, 不应强调不同知识板块的多方位联系. 复数的乘积与向量的数量积是两个完全不同的概念. 现在至少可以让学生体会的有:它们的运算法则不同,运算结果是不同的量(复数乘积的结果仍然是复数,即复平面上的向量, 而向量的数量积的结果是数量). 例 7 说明, 复数问题的解决, 应该有不同于“复数问题实数化”的思想方法. 对于此类问题, 建议在教学中要有所体现但不要刻意强化, 不要为此而引入一些技巧性和灵活性要求很高的问题. ### 教学建议复数几何意义的教学, 要注重由向量入手, 引导学生自主探究复数作为描述几何关系的代数工具的作用, 启发学生尝试用复数刻画简单的几何关系. 复数加减法的平行四边形法则,复数模的性质的阐述等,不仅其结论是重要的工具,而且在获得这些结论的过程中包含着丰富的逻辑推理的示范,所体现的数学思想方法应当在教学过程中得到充分的重视. #### 9.3 实系数一元二次方程 ### 教学重点在复数范围内完整解决实系数一元二次方程的求解以及根与系数的关系. ### 内容分析在复数范围内求解实系数一元二次方程, 依然继承了初中阶段推导一元二次方程求根公式的配方法. 这里碰到的关键问题是判别式 (它可能是正数、0 、负数) 在复数范围内有几个平方根. 因此,教材中特地用了一小节讨论实数的平方根,用“待定系数法”不仅找出了给定实数的平方根, 而且证明了只有我们所找到的那些平方根. 后一个问题往往没有引起注意,并在教材编写和教学中常常被忽略. 事实上,当求出一个非零实数的两个平方根后, 很少有人再问一下: 当视野扩大到复数系以后, 这个实数还有其他平方根吗? 这不是一个没有意义的问题 (在四元数体内, 一个实数可以不只有两个平方根), 它是唯一因式分解定理 (实系数多项式在复数域内只有本质唯一的因式分解) 的推论. 但现有的中小学教材都没有提到唯一因式分解定理, 因此必须单独证明所需要的结论. 好在我们用很短的一小节,用很简单的办法就解决了问题: 实数 $c \geq 0$ 只有已知的实平方根 $\pm \sqrt{c}$ ；实数 $c < 0$ 只有一对共轭的纯虚平方根 $\pm \sqrt{-c}\mathrm{i}$ . 有了这个铺垫之后, 关于实系数一元二次方程根的讨论都是顺理成章的, 而复数范围内实系数一元二次方程根与系数的关系以及对二次多项式的分解因式, 都是对初中阶段相应知识的自然发展. 例 1 以 -25 的平方根为代表研究负数的开平方问题,由此可引出 $- c\left( {c > 0}\right)$ 的平方根为 $\pm \sqrt{-c}\mathrm{i}$ . 这是继规定 $\mathrm{i}$ 为 -1 的平方根之后,应该紧随其后的负数开平方问题, 也是在复数范围内解实系数一元二次方程的准备知识. 例 2 在一元二次方程判别式为负值时, 直接套用一元二次方程的求根公式得到方程的虚数解. 在教学中, 也可以针对此题再次运用配方法重演一元二次方程解得虚数根的过程. 例 3 的教学除了关注一元二次方程根与系数关系的运用, 首先应该引导学生通过对求根公式的观察得到结论: 若一元二次方程有虚数根, 则必定为一对共轭虚根. 例 4 将实系数一元二次方程的虚数根与二次多项式在复数范围内作分解因式相联系, 教学时可将其与一元二次方程有两个实无理数根而对二次多项式作分解因式的情形相类比. ### 注意事项在复数范围内求解实系数一元二次方程的教学, 要积极倡导学生通过自主探究或以合作学习的方式, 获得对于数学新概念推动既有数学知识发展的实践体验. 同时, 应注意避免以此为话题而过多地引入各种复数范围内解方程的问题. ### 教学建议对于实系数一元二次方程, 学生通过初中阶段的学习以及本套教材必修 1 “ 2.1 等式与不等式的性质”中的“一元二次方程的解集及根与系数的关系”的学习,通常都有一定的认知基础. 因此, 实系数一元二次方程求根公式的推导和根的情况的讨论都不难, 在教学中可以根据不同学生的学习情况, 采用或者是教师课堂讲解, 或者是课堂上教师指导下的学生自主探究, 或者是学生课外讨论交流、课内小结汇报等多种不同的方式开展教学. 作为铺垫的实数的平方根讨论本身也没有难度, 关键是引导学生理解问题所在. 对学有余力的学生,可引导他们探索复系数一元二次方程的求解问题(见“探究与实践”). #### *9.4 复数的三角形式 ### 教学重点通过复数的几何意义了解复数的三角形式及相关概念, 形成复数的代数形式与三角形式间的联系, 掌握用复数三角形式表示的复数乘法、除法、乘方、开方运算公式. 了解复数乘法运算的几何意义. ### 内容分析直角坐标平面上点的坐标可以表示为 $\left( {r\cos \theta , r\sin \theta }\right)$ 的形式,其中 $r$ 是坐标原点到给定点的距离, $\theta$ 是 $x$ 轴正半轴绕原点旋转到通过给定点位置所经过的角. 由此, 给定点所对应的复数就可以写成 $z = r\left( {\cos \theta + \mathrm{i}\sin \theta }\right)$ ,这便是复数的三角形式,此时 $r$ 称为复数的模, $\theta$ 称为复数的辐角. 这样引入复数的三角形式,可以降低它的神秘感,让学生觉得自然,容易接受. 要让学生体会到,复数的表示形式这样一个小小的转换让我们进入一个新的天地: 由于两角和差正余弦公式的介入, 使得复数乘、除时二项式的乘除计算转化为辐角的和差运算(是否与对数化积商为和差很相似? 老师们如果熟悉复数的指数形式, 可以看出它们实际上是相通的, 但此“相通”不宜作为教学的内容), 从而使得复数的乘、除、乘方、开方的运算公式有着异乎寻常的简单形式, 特别使得原来复杂得几乎无从着手的连续乘除和高次的乘方与开方运算变成轻而易举的事情. 不仅如此, 通过辐角的增减, 还清晰地体现了复数乘法运算的几何意义, 使得旋转变换这一常见的图形运动有了方便的代数刻画. 复数的三角形式的这些功能和特点凸显了它的重要意义. 本节的难点之一是复数乘法的几何意义. 伸缩变换只是实数乘法的问题, 尽量讲得简单扼要, 也可联系上一章所讲的向量的数量倍数运算(实数与向量的乘法). 要把重点放在旋转变换上, 让学生理解旋转就是辐角的增减问题, 从而与复数乘除相联系. 本节的另一个难点是开方时要考虑被开方数的不同辐角 (不仅仅是辐角的主值). 这个难点要分散处理, 先在定义复数的三角形式时强调一个复数的辐角可以取相差 ${2\pi }$ 倍数的不同值,而不限于取主值; 然后在讲开方公式时启发学生注意到 ${2\pi }$ 的倍数除以一个大于 1 的整数后不一定是 ${2\pi }$ 的倍数了,所以不同的辐角可能给出不同的方根. 还可让学生比较为什么乘、除、乘方公式中不用考虑这个问题. 从复数的三角形式还可以引申到复数的指数形式 $z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$ . 但实际上,复指数的定义要用到指数的级数展开, 这在中学阶段是无法给出的, 所有中学教科书和初等数学课外读物上所谓的复数指数形式都是有其形而无其实. 本教材没有引入指数形式的记号. 例 1 介绍复数的代数形式向三角形式的转化. 在完成复数模的计算后, 要关注复数在复平面上的对应点所在的位置, 正确把握正负数以及纯虚数的辐角. 对于复平面上所对应的点落在第一、第二、第三、第四象限的复数 $a + b\mathrm{i}\left( {a\text{、}b \in \mathbf{R}}\right)$ ,可分别以锐角、 $\pi$ 一锐角、 $\pi$ 十锐角、 ${2\pi }$ 一锐角的方式给出它的辐角,其中的锐角是 $\arctan \left| \frac{b}{a}\right|$ ,由此形成一个化复数的代数形式为三角形式的准程序化操作. 例 2 是与三角有关的复数的“伪三角形式”转化为正确的三角形式问题, 其关键有两点: 一是准确掌握三角形式的特点, 二是诱导公式等三角公式的灵活运用. 例 3 是复数三角形式下的乘法和除法运算法则在标准情形中的运用. 对复数三角形式下运算法则的运用, 教学要求应限于标准情形中的运用为宜. 例 4 展示了复数乘法对于向量旋转的刻画, 在此可回顾“9.2 复数的几何意义”例 4,指明复数三角形式下的乘法法则清晰地体现了复数乘法与旋转变换的联系,强调复数乘法是代数描述旋转变换最为便捷的工具之一. 例 5 和例 6 分别是复数三角形式下的乘法和开方运算法则在标准情形中的运用, 由此展示这是复数乘方和开方运算的首选工具. ### 注意事项复数的三角形式作为选学内容, 其教学可根据不同学生的学情, 从教学内容到学习方式, 都应当有更多的灵活处理以体现教学的适切性. 希望能让选学这一内容的学生, 对于以复数三角形式为基础的复数乘除运算以及乘方和开方运算法则有初步的了解和直接的运用, 知道复数的加减乘除四则运算都有重要的几何意义, 知道描述平面几何中点的平移、对称、旋转变换的代数工具. 不要作更多的拓展. ### 教学建议引导学有余力的学生在教师的指导下, 在复习任意角以及三角函数相关知识的基础上, 通过自主研读、讨论交流的方式获取知识. 教师可以通过课内讲解、课外讲座等方式介绍相关内容并给学生以指导和帮助. 其教学应更多地关注拓展学生的数学视野, 进一步激发学生探究数学的愿望, 并体验自主探究、合作学习的过程. #### 三、参考答案或提示 ##### 9.1 复数及其四则运算 ### 练习 ${9.1}\left( 1\right)$ 1. $x = 1, y = 4$ . 2. (1) $1 + 9\mathrm{i}$ . (2) $- 1 - 3\mathrm{i}$ . (3) $\sqrt{3} - \mathrm{i}$ . (4) $- 8\mathrm{i}$ . (5) $1 + \mathrm{i}$ . (6) $- \frac{3}{5} - \frac{4}{5}\mathrm{i}$ . ### 练习 ${9.1}\left( 2\right)$ 1. 证明: 设 ${z}_{1} = a + b\mathrm{i},{z}_{2} = c + d\mathrm{i}\left( {a\text{、}b\text{、}c\text{、}d \in \mathbf{R}}\right)$ ,则 ${z}_{1} + {z}_{2} = \left( {a + c}\right) + \left( {b + d}\right) \mathrm{i}$ , $\overline{{z}_{1} + {z}_{2}} = \left( {a + c}\right) - \left( {b + d}\right) \mathrm{i}$ ,又 $\overline{{z}_{1}} + \overline{{z}_{2}} = \left( {a - b\mathrm{i}}\right) + \left( {c - d\mathrm{i}}\right) = \left( {a + c}\right) - \left( {b + d}\right) \mathrm{i}$ ,所以 $\overline{{z}_{1} + {z}_{2}} = \overline{{z}_{1}} + \overline{{z}_{2}}$ . $\overline{{z}_{1} - {z}_{2}} = \overline{{z}_{1}} - \overline{{z}_{2}}$ 的验证与之类似. 2. 在复数 $- 5 + 6\mathrm{i}\text{、}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}\text{、} - \sqrt{3}\text{、}\mathrm{i}\text{、}0\text{、}\cos \frac{\pi }{5} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi }{5}$ 中, $- \sqrt{3}\text{、}0$ 是实数, $- 5 + 6\mathrm{i}\text{、}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}\text{、}\mathrm{i}\text{、}\cos \frac{\pi }{5} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi }{5}$ 是虚数, $\mathrm{i}$ 是纯虚数. 复数 $- 5 + 6\mathrm{i}$ 的实部是 -5,虚部是 6 . 复数 $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}$ 的实部是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ,虚部是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . 复数一 $\sqrt{3}$ 的实部是 $- \sqrt{3}$ ,虚部是 0 . 复数 $\mathrm{i}$ 的实部是0,虚部是 1 . 复数 0 的实部是 0 , 虚部是 0 . 复数 $\cos \frac{\pi }{5} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi }{5}$ 的实部是 $\cos \frac{\pi }{5}$ ,虚部是 $\sin \frac{\pi }{5}$ . 3. (1)真命题. 设 $z = a + b\mathrm{i}\left( {a\text{、}b \in \mathbf{R}}\right)$ ,则 $z + \bar{z} = \left( {a + b\mathrm{i}}\right) + \left( {a - b\mathrm{i}}\right) = {2a} \in \mathbf{R}$ . (2)假命题. 若 $z = 1$ ,则 $\bar{z} = 1, z - \bar{z} = 0$ ,不是纯虚数. (3)真命题. 设 $z = a + b\mathrm{i}\left( {a\text{、}b \in \mathbf{R}}\right)$ ,则 $z - \bar{z} = \left( {a + b\mathrm{i}}\right) - \left( {a - b\mathrm{i}}\right) = {2b}\mathrm{i}$ . 由 $z - \; \bar{z} = 0$ ,得 $b = 0$ . 所以 $z \in \mathbf{R}$ . (4)假命题. 若 $z = 0$ ,则 $\bar{z} = 0$ ,此时 $z + \bar{z} = 0$ ,但 0 不是纯虚数. 4. (1) $m = 1$ . (2) $m < 1$ 或 $m > 1$ . (3) $m = - 2$ . 习题 9.1 A 组 1. $x = 4, y = - 6$ . 2. $\left\{ \begin{array}{l} x = 3, \\ y = - 8 \end{array}\right.$ 或 $\left\{ \begin{array}{l} x = - 8, \\ y = 3. \end{array}\right.$ 3. (1) $\frac{11}{12} - \frac{1}{10}\mathrm{i}$ . (2) $- 2 + {10}\mathrm{i}$ . (3) ${2b} + {2a}\mathrm{i}$ . (4) ${24} + 7\mathrm{i}$ . (5) $2 + 2\mathrm{{3i}}$ . (6) $- \mathrm{i}$ . (7) $5 - \mathrm{i}$ . (8) $- \frac{3}{13} - \frac{28}{13}\mathrm{i}$ . (9) $\frac{1}{2}$ . 4. 证明: $\left( {c + d\mathrm{i}}\right) \left( {\frac{{ac} + {bd}}{{c}^{2} + {d}^{2}} + \frac{{bc} - {ad}}{{c}^{2} + {d}^{2}}\mathrm{i}}\right) = \frac{c\left( {{ac} + {bd}}\right) - d\left( {{bc} - {ad}}\right) }{{c}^{2} + {d}^{2}} + \frac{c\left( {{bc} - {ad}}\right) + d\left( {{ac} + {bd}}\right) }{{c}^{2} + {d}^{2}}\mathrm{i} = \; \frac{a\left( {{c}^{2} + {d}^{2}}\right) }{{c}^{2} + {d}^{2}} + \frac{b\left( {{c}^{2} + {d}^{2}}\right) }{{c}^{2} + {d}^{2}}\mathrm{i} = a + b\mathrm{i}.$ 5. 2 . 6. $x = 6, y = - 4$ . 7. $x = - 1, y = 5$ . 8. $- {12} + 5\mathrm{i}$ . 9. $\frac{8}{3}$ . 10. $\frac{3}{13} - \frac{2}{13}\mathrm{i}$ . 11. (1) $m = 6$ 或 $m = - 1$ . (2) $m = 4$ . (3) $m = - 1$ . 12. $\left\{ \begin{array}{l} x = 2, \\ y = 1 \end{array}\right.$ 或 $\left\{ \begin{array}{l} x = 2, \\ y = - 2 \end{array}\right.$ 或 $\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{1}{2}, \\ y = 1 \end{array}\right.$ 或 $\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{1}{2}, \\ y = - 2. \end{array}\right.$ B 组 1. (1) i. (2) $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$ . (3) 64i. 2. $5 + \frac{5}{2}\mathrm{i}$ . 3. $x = 4, y = 3$ . 4. $x = \frac{5}{2}, y = - \frac{3}{2}$ . 5. (1) $m = 2$ 或 $m = 3.\;$ (2) $m < - 5$ 或 $- 5 < m < 2$ 或 $2 < m < 3$ 或 $3 < m < 5$ 或 $m > 5$ . (3) 不存在. (4) $m = 3$ . 6. (1) B. (2) D. 7. $z = 2 + \mathrm{i}$ . 8. 证明: 由 $z = a + b\mathrm{i}\left( {a\text{、}b \in \mathbf{R}}\right)$ ,得 $\frac{z + \bar{z}}{z - \bar{z}} = \frac{\left( {a + b\mathrm{i}}\right) + \left( {a - b\mathrm{i}}\right) }{\left( {a + b\mathrm{i}}\right) - \left( {a - b\mathrm{i}}\right) } = \frac{2a}{{2b}\mathrm{i}} = - \frac{a}{b}\mathrm{i}$ ,而实数 $a\text{、}b$ 都不等于 0,所以 $\frac{z + \bar{z}}{z - \bar{z}} = - \frac{a}{b}\mathrm{i}$ 是纯虚数. ### 练习 ${9.2}\left( 1\right)$ 1. (1) $x$ 轴的正半轴上. (3)第二象限. (4) $y$ 轴的负半轴上. 2. $2 < m < 4$ . 3. $2 - 2\mathrm{i}, - 2 + 2\mathrm{i}$ . 4. $\left( {-1,3}\right)$ . 练习 ${9.2}\left( 2\right)$ 1. (1) $8\sqrt{2}$ . (2) $7\sqrt{7}$ . (3) $\frac{\sqrt{2}}{5}$ . 2. 点 ${Z}_{1}$ 在以原点为圆心,10 为半径的圆上,点 ${Z}_{2}$ 在此圆内部. 3. $\sqrt{2}$ . 4. $\sqrt{65}$ . 习题 9.2 A 组 1. ![bo_d402nkref24c73d2tegg_111_551_372_419_333_0.jpg](../images/bo_d402nkref24c73d2tegg_111_551_372_419_333_0.jpg) 图 9-R1 2. ( 1 ) $m = 7$ 或 $m = - 2$ . ( 2 ) $m = 5$ 或 $m = 3$ . 3. (1)2+8i,-2-8i. ( 2 ) $\frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2}\mathrm{i}$ , $\frac{1 - \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3} + 1}{2}\mathrm{i}$ . 4. $\left( {3, - 3}\right)$ . 5.5. 6. (1) 625. (2) ${27}\sqrt{2}$ . (3) 2. (4) $\sqrt{170}$ . 7. $\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ . 8. $\frac{9}{5}$ 或 1. 9. $\frac{\sqrt{2}}{6}$ . 10. ${12} + 5\mathrm{i}$ 或 $- {12} - 5\mathrm{i}$ . B 组 1. (1) A. (2) C. 2. $\left( {3,5}\right) ,5 + 6\mathrm{i}$ . 3. $\left| {{z}_{1} + {z}_{2}}\right| = \sqrt{2},\left| {{z}_{1} - {z}_{2}}\right| = \sqrt{2}$ . 4. 证明: 设 $z = a + b\mathrm{i}\left( {a\text{、}b \in \mathbf{R}}\right)$ . 由已知,得 ${a}^{2} + {b}^{2} = 1$ 且 $a \neq 0, b \neq \pm 1$ . 则 $\frac{z + \mathrm{i}}{z - \mathrm{i}} = \; \frac{a + b\mathrm{i} + \mathrm{i}}{a + b\mathrm{i} - \mathrm{i}} = \frac{\left\lbrack {a + \left( {b + 1}\right) \mathrm{i}}\right\rbrack \left\lbrack {a - \left( {b - 1}\right) \mathrm{i}}\right\rbrack }{\left\lbrack {a + \left( {b - 1}\right) \mathrm{i}}\right\rbrack \left\lbrack {a - \left( {b - 1}\right) \mathrm{i}}\right\rbrack } = \frac{{a}^{2} + {b}^{2} - 1 + {2a}\mathrm{i}}{{a}^{2} + {\left( b - 1\right) }^{2}} = \frac{{2a}\mathrm{i}}{{a}^{2} + {b}^{2} - {2b} + 1} = \frac{a\mathrm{i}}{1 - b}$ ,所以 $\frac{z + \mathrm{i}}{z - \mathrm{i}}$ 是纯虚数. 5. 证明: 因为 $\left| z\right| = \left| {\cos \theta + \mathrm{i}\sin \theta }\right| = \sqrt{{\cos }^{2}\theta + {\sin }^{2}\theta } = 1$ ,所以集合 $M$ 中的每一个复数在复平面上所对应的点都在以原点为圆心, 1 为半径的圆上. 6. 证明: 设 ${z}_{1} = {a}_{1} + {b}_{1}\mathrm{i},{z}_{2} = {a}_{2} + {b}_{2}\mathrm{i}\left( {{a}_{1}\text{、}{b}_{1}\text{、}{a}_{2}\text{、}{b}_{2} \in \mathbf{R}}\right)$ ,则 ${z}_{1} + {z}_{2} = \left( {{a}_{1} + }\right. \; \left. {a}_{2}\right) + \left( {{b}_{1} + {b}_{2}}\right) \mathrm{i},{z}_{1} - {z}_{2} = \left( {{a}_{1} - {a}_{2}}\right) + \left( {{b}_{1} - {b}_{2}}\right) \mathrm{i}$ ,于是, ${\left| {z}_{1} + {z}_{2}\right| }^{2} + {\left| {z}_{1} - {z}_{2}\right| }^{2} = \; {\left( {a}_{1} + {a}_{2}\right) }^{2} + {\left( {b}_{1} + {b}_{2}\right) }^{2} + {\left( {a}_{1} - {a}_{2}\right) }^{2} + {\left( {b}_{1} - {b}_{2}\right) }^{2} = 2\left( {{a}_{1}^{2} + {b}_{1}^{2} + {a}_{2}^{2} + {b}_{2}^{2}}\right) = 2\left( {{\left| {z}_{1}\right| }^{2} + {\left| {z}_{2}\right| }^{2}}\right) .$ 7. 0 或 $2 + {2i}$ . ### 练习 9.3 1. $- 1 < k < 0$ . 2. (1) $x = \pm \sqrt{2}\mathrm{i}$ . (2) $x = - 1 \pm \sqrt{2}\mathrm{i}.$ (3) $x = \frac{5 \pm \sqrt{39}\mathrm{i}}{4}$ . 3. $- \frac{1}{3}$ . 习题 9.3 A 组 1. (1) $x = \pm \frac{5}{2}\mathrm{i}.$ (2) $x = 1 \pm \sqrt{3}$ . (3) $x = \frac{1 \pm \sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$ . (4) $x = 4 \pm \sqrt{3}$ . 2. $b = - 4, c = {13}$ . 3. $\pm 2$ . B 组 1. (1) $x = \pm 2$ 或 $x = \pm 2\mathrm{i}$ . (2) $x = \pm \sqrt{2}$ 或 $x = \pm \sqrt{5}\mathrm{i}$ . 2. $2 + \sqrt{2}\mathrm{i}$ 和 $2 - \sqrt{2}\mathrm{i}$ . 3. (1) $\left( {a + b + c\mathrm{i}}\right) \left( {a + b - c\mathrm{i}}\right)$ . (2) $\left( {x + \sqrt{5}y\mathrm{i}}\right) \left( {x - \sqrt{5}y\mathrm{i}}\right)$ . (3) $2\left( {x - \frac{3 + \mathrm{i}}{2}}\right) \left( {x - \frac{3 - \mathrm{i}}{2}}\right)$ . 4. 3 . 练习 ${9.4}\left( 1\right)$ 1.(1)3π(cos 0.5+i sin 0.5)是复数的三角形式,它与复数三角形式的规定 $r(\cos \theta + \; \mathrm{i}\sin \theta )$ (其中 $r \geq 0$ )相一致. (2) $2\left( {\sin 1 + \mathrm{i}\cos 1}\right)$ 不符合复数三角形式的规定,将其改写为复数三角形式的结果是 $2\left\lbrack {\cos \left( {\frac{\pi }{2} - 1}\right) + \mathrm{i}\sin \left( {\frac{\pi }{2} - 1}\right) }\right\rbrack$ . (3) $\cos {131\pi } + \mathrm{i}\sin {131\pi }$ 是复数的三角形式,它与复数三角形式的规定 $r(\cos \theta + \; \mathrm{i}\sin \theta )$ (其中 $r \geq 0$ )相一致. (4) $\sqrt{2}\left( {\cos {0.3\pi } + \mathrm{i}\sin {0.2\pi }}\right)$ 不符合复数三角形式的规定,实部中的余弦与虚部中的正弦的角不相等. (5) $- 2\left( {\cos \frac{\pi }{4} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi }{4}}\right)$ 不符合复数三角形式的规定,将其改写为复数三角形式的结果是 $2\left\lbrack {\cos \left( {\pi + \frac{\pi }{4}}\right) + \mathrm{i}\sin \left( {\pi + \frac{\pi }{4}}\right) }\right\rbrack = 2\left( {\cos \frac{5\pi }{4} + \mathrm{i}\sin \frac{5\pi }{4}}\right)$ . (6) $3\left( {\cos \frac{\pi }{5} - \mathrm{i}\sin \frac{\pi }{5}}\right)$ 不符合复数三角形式的规定,将其改写为复数三角形式的结果是 $3\left\lbrack {\cos \left( {-\frac{\pi }{5}}\right) + \mathrm{i}\sin \left( {-\frac{\pi }{5}}\right) }\right\rbrack$ . 2. (1) $3\left( {\cos 0 + \mathrm{i}\sin 0}\right)$ . (2) $2\left( {\cos \frac{3\pi }{2} + \mathrm{i}\sin \frac{3\pi }{2}}\right)$ . (3) $\sqrt{2}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi }{4}}\right)$ . (4) $2\left( {\cos \frac{2\pi }{3} + \mathrm{i}\sin \frac{2\pi }{3}}\right)$ . 练习 ${9.4}\left( 2\right)$ 1. (1) 16i. (2) 3i. (3) $- 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}\mathrm{i}$ . 2. 1, i, -1, -i. 习题 9.4 A 组 1. (1) $4\sqrt{2}\left( {\cos \frac{7\pi }{4} + \mathrm{i}\sin \frac{7\pi }{4}}\right)$ . (2) $6\left( {\cos \frac{7\pi }{6} + \mathrm{i}\sin \frac{7\pi }{6}}\right)$ . (3) $\cos \frac{3\pi }{8} + \mathrm{i}\sin \frac{3\pi }{8}$ . (4) $\cos \frac{13\pi }{7} + \mathrm{i}\sin \frac{13\pi }{7}$ . 2. (1) $\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{3\sqrt{2}}{4}\mathrm{i}$ . (2) $- \sqrt{3} - \mathrm{i}$ . (3) $- \frac{3\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}\mathrm{i}$ . (4) $- 2\sqrt{2}$ . (5) 4096. 3. i, $- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\mathrm{i},\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\mathrm{i}$ . B 组 1. (1) $- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2}\mathrm{i}$ . (2) $- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{6}\mathrm{i}$ . 2. $- 4 + 3\mathrm{i}$ . 3. $\frac{\pi }{4}$ . ### 复习题 A 组 1. (1) D. (2) A. 2. (1) 11, -60, 61, 11+60i. (2) ③. 3. (1) $a = 3$ 或 $a = 1$ . (2) $a < - 1$ 或 $a > 3$ . 4. 3 . 5. (1) 10 +11i. (2) 25. (3) ${11} + 7\mathrm{i}$ . (4) $- \frac{8}{5}$ . (5) $4\sqrt{3} + 4\mathrm{i}$ . 6. 2 . 7. (1) $x = 2 \pm 2\mathrm{i}$ . (2) $x = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{3}$ . B 组 1. (1) B. (2) C. 2. $\sqrt{2}$ . 3. $\frac{5}{2}$ . 4. $4\sqrt{2}$ . ### 拓展与思考 1. 5. 2. $- {21} + \mathrm{i}$ . #### 四、相关阅读材料 ### 参考文献 [1] 常庚哲,伍润生. 复数与几何[M]. 北京:科学出版社,2002. [2] 张顺燕. 复数、复函数及其应用[M]. 大连: 大连理工大学出版社, 2011. [3] 保罗・J·纳欣. 虚数的故事[M]. 朱惠霖,译. 上海:上海教育出版社,2008. [4] Andreescu T, Andrica D. Complex Numbers from A to...Z (Second Edition)[M]. New York: Birkhäuser, 2014. ### 后记本套教学参考资料与李大潜、王建磐主编,上海教育出版社出版的《普通高中教科书·数学》配套使用,本套教材根据中华人民共和国教育部制定并颁布实施的《普通高中数学课程标准 (2017 年版 2020 年修订) 》编制, 并经国家教材委员会专家委员会审核通过. 本套教材是由设在复旦大学和华东师范大学的两个上海市数学教育教学研究基地 (上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地)联合主持编写的. 编写工作依据高中数学课程标准的具体要求,努力符合教育规律和高中学生的认知规律,结合上海城市发展定位和课程改革基础, 并力求充分体现特色. 希望我们的这一努力能经得起实践和时间的检验, 对扎实推进数学的基础教育发挥积极的作用. 本书是与必修第二册教材配套的教学参考资料, 共为四章, 各章编写人员分别为邹建兵、周子翔、朱胜林(第 6 章) 肖登鹏、周子翔、朱胜林(第 7 章) 陈兴义、刘攀、邹佳晨(第 8 章) 况亦军(第 9 章) 限于编写者的水平, 也由于新编教材尚缺乏教学实践的检验, 不妥及疏漏之处在所难免, 恳请广大师生及读者不吝赐教. 宝贵意见请通过邮箱 gaozhongshuxue@seph.com.cn 反馈, 不胜感激. 图书在版编目 (CIP) 数据普通高中数学教学参考资料:必修. 第二册/上海市中小学 (幼儿园)课程改革委员会组织编写. 一上海:上海教育出版社, 2020.12 ( 2023.12重印 ) ISBN 978-7-5720-0397-4 I. ①普... II. ①上··· III. ①中学数学课 - 高中 - 教学参考资料 IV. ①G634.603 中国版本图书馆CIP数据核字(2021)第003552号